画像のモーメントってなんだよと思ったので

定義

画像のモーメントには

• 素モーメント（raw moment）
• 中心モーメント(central moment)

の2種類がある。素モーメントは画像基準の座標系、中心モーメントは重心を原点とした座標系である。

素モーメント(raw moment)の定義

$m\times n$の画像$I_{xy}$に対して画像の素モーメント$M_{pq}$は$$M_{pq}=\sum _{x=0}^{m-1}\sum _{y=0}^{n-1}{x}^p{y}^q{I}_{xy}$$で与えられる。

素モーメントの性質

$p=q=0$かつ画像$I_{xy}$が二値画像のとき、$$M_{00}=\sum _{x=0}^{m-1}\sum _{y=0}^{n-1}{I}_{xy}$$となり、画像の面積を表す。
(画像$I_{xy}$が密度のときは$M_{00}$は質量を表す）

また、$M_{00},M_{10},M_{01}$を使って重心$G$の座標$(G_x,G_y)$を表すことができる。（重心が素モーメントで表せる簡単な説明はコチラ）
$$(G_x,G_y)=\left(\frac{\sum x{I}_{xy}}{\sum I_{xy}},\frac{\sum y{I}_{xy}}{\sum I_{xy}}\right)=\left(\frac{M_{10}}{M_{00}},\frac{M_{01}}{M_{00}}\right)$$

中心モーメント(central moment)の定義

$m\times n$の画像$I_{xy}$に対して画像の中心モーメント${\mu }_{pq}$は$${\mu }_{pq}=\sum _{x=0}^{m-1}\sum _{y=0}^{n-1}(x-G_x{)}^p(y-G_y{)}^q{I}_{xy}$$で与えられる。ここで、$G_x,G_y$は前述の通り重心$G$の座標である。

中心モーメントの性質

定義より明らかだが、

1. $${\mu }_{00}=M_{00}$$
2. $${\mu }_{01}={\mu }_{10}=0$$
3. $$\frac{{\mu }_{11}}{{\mu }_{00}}$$は共分散である。
4. $${\mu }_{20},{\mu }_{02}$$は断面二次モーメントである。
5. $$\frac{{\mu }_{20}}{{\mu }_{00}},\frac{{\mu }_{02}}{{\mu }_{00}}$$は$x,y$それぞれの分散である。
6. $$\frac{{\mu }_{11}}{\sqrt{{\mu }_{20}{\mu }_{02}}}$$は$x$と$y$の相関係数である。
7. 画像$I_{xy}$を平行移動しても${\mu }_{pq}$は変わらない。

参考

https://en.wikipedia.org/wiki/Image_moment
http://labs.eecs.tottori-u.ac.jp/sd/Member/oyamada/OpenCV/html/py_tutorials/py_imgproc/py_contours/py_contour_features/py_contour_features.html
http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/gou/jyuusinn.html